Слайдове (PDF) · Задачи за студенти · Домашна работа (PDF)
Отделете около 15 минути за четене. Материалът следва презентацията „Дескриптивна статистика. Доверителен интервал“. След прочита трябва да можете да изберете подходящите показатели за даден признак, да изчислите средна и стандартно отклонение от групирани данни и да построите и тълкувате 95 % доверителен интервал.
Две половини на статистиката
Дескриптивната статистика описва какво сме наблюдавали в извадката: колко е типичната стойност и колко са разпръснати наблюденията. Инферентната статистика пренася резултата към генералната съвкупност, от която е взета извадката. Доверителният интервал е първият инструмент от втората половина.
Признаци и скали
Скалата, на която е измерен един признак, определя кои показатели са допустими.
| Скала | Какво е | Пример |
|---|---|---|
| номинална | категории без ред (дихотомна — само две) | кръвна група; пол |
| ординална | категории с ред, но разликите не са измерими | стадий I–IV |
| интервална | числа; „0“ не означава липса на признака | температура в °C |
| пропорционална | числа; „0“ е липса; има смисъл и отношението | тегло, брой дни |
Количествените признаци са дискретни (брой раждания) или непрекъснати (тегло, кръвно налягане). Средна и стандартно отклонение имат смисъл само за количествени признаци; качествените се описват с относителен дял.
Централна тенденция
Средната аритметична е \(\bar X = \sum X_i / n\). При интервален вариационен ред всяка стойност в интервала се заменя със средата му \(X_u\), а честотата \(f\) е тегло: \(\bar X = \sum (X_u \cdot f) / \sum f\). В листа с формули същото е записано като \(\bar X_w = \sum (x_i w_i)/\sum w_i\).
Пример от упражнението: преживяемостта на 30 пациенти, групирана в интервали 1–5 (7 пациенти), 6–10 (14) и 11–15 (9) месеца, дава \(\bar X = 250 / 30 = 8{,}33\) месеца. От суровите 30 стойности средната е 8,50 месеца — разликата е цената на групирането. Когато суровите данни са налице, изчисляваме от тях. Не закръглявайте междинните резултати: ако заменим 8,33 с 8, всички следващи стъпки се изместват.
Медианата разделя подредения ред на две равни части (при четен брой — средната на двете средни стойности). Модата е най-честата стойност. Относителният дял \(\hat p = m/n \times 100\) описва качествен признак: 56 от 100 пациенти с подобрение — 56 %.
Разсейване
Стандартното отклонение е \(S = \sqrt{\sum (X_i - \bar X)^2 / (n-1)}\). Отклоненията се квадратират, защото сборът им винаги е нула; делим на \(n-1\), защото оценяваме от извадка. При интервален ред под сумата стои \((X_u - \bar X)^2 \cdot f\). За преживяемостта: \(S = \sqrt{396{,}67 / 29} = 3{,}70\) месеца; записваме \(8{,}33 \pm 3{,}70\) месеца.
Правилото на трите сигми важи само при нормално разпределение: в \(\bar X \pm 1S\) са около 68 % от наблюденията, в \(\pm 2S\) — около 95 %, в \(\pm 3S\) — около 99,7 %. То описва къде са отделните хора.
При изтеглено разпределение с аутлайъри средната се „издърпва“ към опашката. Тогава съобщаваме медиана и интерквартилен размах \(IQR = Q_3 - Q_1\). Квартилите се намират по позицията им в подредения ред, \(P = 1 + (n-1) \times p\) (\(p = 0{,}25\) за \(Q_1\), \(0{,}75\) за \(Q_3\)); при дробна позиция се интерполира между двете съседни стойности — за пулса на 10 студенти \(Q_1 = 74 + 0{,}25 \times (78 - 74) = 75\) уд./мин. Аутлайъри (по правилото на Тюки) са стойностите над \(Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR\) или под \(Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR\). Пример: при 22 пациенти с медиана 4 дни хоспитализация и \(IQR = 6 - 2 = 4\) дни границата е 12 дни, а престоите от 17, 24 и 25 дни са аутлайъри.
Стандартна грешка
Всяка нова случайна извадка дава малко различна средна. Стандартната (средна) грешка \(S_{\bar X} = S / \sqrt n\) мери колко се изменя средната от извадка на извадка — тоест колко точно сме я оценили. За дял в проценти: \(S_p = \sqrt{\hat p (100 - \hat p) / n}\).
Не бъркайте двете: \(S\) описва колко различни са пациентите, \(S_{\bar X}\) — колко точна е средната. При по-голяма извадка \(S\) не се променя съществено, а стандартната грешка намалява; за два пъти по-малка грешка е нужна четири пъти по-голяма извадка.
Доверителен интервал
Общата формула е: оценка ± критична стойност × стандартна грешка.
- За средна, когато популационното \(\sigma\) е неизвестно (почти винаги): \(\bar X \pm t_{\alpha/2,\,df} \cdot S_{\bar X}\), с \(df = n - 1\). Критичната стойност се взема от t-таблицата в листа с формули (колоната \(t_{0,025}\) за 95 %).
- За относителен дял: \(\hat p \pm Z_{\alpha/2} \cdot S_p\), с \(Z = 1{,}96\) за 95 % и \(2{,}576\) за 99 %. Приближението е добро, ако и броят със събитието, и броят без него са поне 5.
Решен пример: \(S_{\bar X} = 3{,}70/\sqrt{30} = 0{,}675\) месеца; \(t_{0,025;29} = 2{,}045\); \(8{,}33 \pm 2{,}045 \times 0{,}675 = 8{,}33 \pm 1{,}38\), тоест 95 % CI = [6,95; 9,71] месеца. За дяла 56 %: \(S_p = 4{,}96\) %; \(56 \pm 1{,}96 \times 4{,}96\) = [46,27; 65,73] %.
Как се тълкува. При многократно повторение на изследването около 95 % от интервалите, построени по този начин, ще съдържат истинския параметър. Интервалът не казва, че 95 % от пациентите са в него — това е правилото на двете сигми. Интервалът е по-тесен при по-голяма извадка и по-малко разсейване и по-широк при по-високо доверително ниво (99 % срещу 95 %).
Чести грешки
- \(S\) вместо \(S_{\bar X}\) във формулата за доверителен интервал.
- \(Z = 1{,}96\) за средна при малка извадка вместо \(t\) с \(n - 1\) степени на свобода.
- Ранно закръгляне и число без мерна единица.
- Смесване на 0,56 и 56 % в една формула.
- Извод „няма разлика“ само защото два интервала се препокриват.
Проверете се
- Кога ще съобщите медиана и IQR вместо средна и стандартно отклонение?
- Защо стандартната грешка е по-малка от стандартното отклонение?
- Какво се променя в 95 % доверителния интервал, ако извадката се увеличи четири пъти при същото \(S\)?