Skip to main content

Проверка на хипотези: t-тест и Z-тест

Материал за 15-минутна подготовка към четвъртото упражнение по медицинска статистика: нулева и алтернативна хипотеза, p-стойност и критична стойност, Z-тест за един и за два относителни дяла, Z-тест и t-тест за една средна, t-тест за две независими и за две свързани извадки.
Bulgarian
Medical Statistics
Medicine | 2nd year
2026/2027
Автор

Костадин Костадинов

Публикувано

20 ноември 2026 г.

Слайдове (PDF) · Задачи за студенти · Домашна работа (PDF)

Отделете около 15 минути за четене. Материалът следва презентацията „Проверка на хипотези: t-тест и Z-тест“ и глава 6 от учебника на проф. Искров. След прочита трябва да можете да формулирате хипотези, да изберете между Z-тест и t-тест, да изчислите тестовата статистика и да формулирате извода правилно.

Хипотези

Нулевата хипотеза \(H_0\) (в учебника — работната хипотеза) твърди, че в популацията няма разлика: \(\mu_1 = \mu_2\) или \(P_1 = P_2\). Алтернативната \(H_1\) твърди, че разлика има: \(\mu_1 \neq \mu_2\). В курса разглеждаме само двустранни тестове. Хипотезите се отнасят за популационни параметри — за извадката знаем стойностите и нямаме какво да проверяваме.

Пет стъпки

  1. Хипотези \(H_0\) и \(H_1\).
  2. Ниво на значимост: \(\alpha = 0{,}05\), двустранно.
  3. Тестова статистика (\(Z\) или \(t\)) и степени на свобода.
  4. Сравнение с критичната стойност или определяне на p-стойността.
  5. Решение и извод с думи, с размера на разликата и, ако е възможно, с 95 % доверителен интервал.

Критична стойност и p-стойност

Класически подход: ако \(|t_{емп}|\) е по-голямо от критичната стойност, отхвърляме \(H_0\). Съвременен подход: p-стойността е вероятността — ако \(H_0\) е вярна и допусканията на теста са изпълнени — да се получи тестова статистика поне толкова крайна, колкото наблюдаваната (при двустранен тест — по абсолютна стойност). Без софтуер я заграждаме от t-таблицата: колоните \(t_{0,05}\), \(t_{0,025}\) и \(t_{0,005}\) отговарят на двустранни \(\alpha\) = 0,10; 0,05 и 0,01. Пример от учебника: \(|t| = 1{,}926\) при \(df = 40\) е между 1,684 и 2,021, тоест \(0{,}05 < p < 0{,}10\) (софтуерът дава 0,06).

Правило за p-стойността: при \(p < \alpha\) отхвърляме \(H_0\) — има статистически значима разлика; при \(p \geq \alpha\) не отхвърляме \(H_0\) — няма статистически значима разлика. Това не е същото като „няма разлика“: при \(p = 0{,}06\) данните просто не са достатъчни, за да отхвърлим \(H_0\). Не казваме и „приемаме \(H_0\)“.

Грешки. Отхвърляне на вярна \(H_0\) е грешка от I род (вероятност \(\alpha\)); неотхвърляне на невярна \(H_0\) — грешка от II род (вероятност \(\beta\)). Мощността \(1 - \beta\) расте с размера на ефекта и с обема на извадката.

Z-тест за относителен дял

Един дял спрямо референтна стойност \(P_0\): \(Z = (\hat p - P_0) / \sqrt{P_0(100 - P_0)/n}\). Стандартната грешка е с \(P_0\), защото тестът предполага, че \(H_0\) е вярна. Условие: очакваните броеве \(nP_0/100\) и \(n(100 - P_0)/100\) са поне 10. Пример: 146 от 200 пациенти (73 %) преживяват година при референтни 80 %: \(Z = -7/2{,}828 = -2{,}47\), \(|Z| > 1{,}96\) → \(p = 0{,}013\), отхвърляме \(H_0\).

Два дяла (формулата е в листа): \(Z = (\hat p_1 - \hat p_2) / \sqrt{\hat p (100 - \hat p)(1/n_1 + 1/n_2)}\), където \(\hat p = (m_1 + m_2)/(n_1 + n_2) \times 100\) е обединеният дял. Безглутенова диета (56/100 срещу 45/100): \(\hat p = 50{,}5\) %, \(Z = 11/7{,}071 = 1{,}56\) → \(p = 0{,}12\); не отхвърляме \(H_0\). Учебникът (215/260 срещу 185/260): \(Z = 3{,}12\) → \(p = 0{,}002\); отхвърляме \(H_0\). Условие: във всяка група поне 10 със и 10 без събитието.

Тестът и 95 % интервалът на разликата от миналото упражнение почти винаги дават едно и също решение, но използват различни стандартни грешки: тестът — обединения дял, интервалът — отделните дялове.

Тестове за средни

Общи допускания: наблюденията на различните участници са независими; при малки извадки признакът (или разликите при свързани данни) е приблизително нормално разпределен, без силно отклоняващи се стойности.

Z-тест за една средна — само при известно популационно \(\sigma\): \(Z = (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\).

t-тест за една извадка — при неизвестно \(\sigma\): \(t = (\bar X - \mu_0)/(S/\sqrt n)\), \(df = n - 1\). Пулсът на 10 студенти (\(\bar X = 80{,}8\), \(S = 6{,}53\)) срещу 72 уд./мин: \(t = 4{,}26\), \(df = 9\) → \(p < 0{,}01\).

t-тест за две независими извадки (в листа — вариантът с различни дисперсии): \(t = (\bar X_1 - \bar X_2)/\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}\), \(df \approx \min(n_1 - 1, n_2 - 1)\). Пример от учебника: 137 срещу 127 mmHg, \(S\) = 31 и 12, \(n\) = 41: \(t = 1{,}926\), \(df = 40\) → \(0{,}05 < p < 0{,}10\) (софтуер: 0,06); не отхвърляме \(H_0\). 95 % интервалът на разликата е [−0,49; 20,49] mmHg — той съдържа 0, но допуска и голям ефект, затова изводът „двете терапии дават сходни резултати“ не следва — за еквивалентност са нужни предварително определени граници на приемлива разлика и специален анализ.

t-тест за две свързани извадки — когато едни и същи пациенти са измерени преди и след: изчисляваме разликата \(d\) за всеки пациент и \(t = \bar d / (S_d/\sqrt n)\), \(df = n - 1\), с \(H_0: \mu_d = 0\). Ако третираме свързаните данни като независими групи, стандартната грешка е неподходяща; при обичайната положителна корелация между измерванията губим мощност.

Чести грешки

  • Хипотези за извадката вместо за популацията.
  • „Няма разлика“ вместо „няма статистически значима разлика“.
  • \(S\) вместо \(S/\sqrt n\) в знаменателя.
  • Отделните дялове вместо обединения в Z-теста за два дяла (при един дял — SE с \(P_0\)).
  • Само p-стойност, без разликата и нейния доверителен интервал.

Проверете се

  1. При \(t = 2{,}50\) и \(df = 20\) в какъв интервал е p-стойността?
  2. Защо Z-тестът за два дяла използва обединения дял, а интервалът на разликата — не?
  3. Кога ще изберете t-тест за свързани извадки?