Skip to main content

Медицинска статистика, упражнение 4: t-тест и Z-тест

Работа за 75 минути след 15-минутната подготовка: хипотези и правило за p-стойността, Z-тест за два относителни дяла, t-тест за две независими и за две свързани извадки, тълкуване на резултатите. Със скрити примерни отговори.
Bulgarian
Medical Statistics
Assignment
Medicine | 2nd year
2026/2027
Автор

Костадин Костадинов

Публикувано

20 ноември 2026 г.

Материал за 15-минутна подготовка · Слайдове (PDF) · Домашна работа (PDF)

Организация на работата

Първо прочетете подготвителния материал, след което работете по двойки с калкулатор и листа с формули. Четенето отнема 15 минути, а задачите — 75 минути, общо едно 90-минутно занятие. При всяка задача следвайте петте стъпки на теста. Отваряйте примерния отговор едва след като запишете собственото си решение. Всички данни са учебни.

Задача 1. Хипотези и p-стойност — 10 минути

  1. Проучване сравнява средното ниво на холестерол при две диети. Формулирайте \(H_0\) и \(H_1\).
  2. При \(t = 2{,}50\) и \(df = 20\) в какъв интервал е p-стойността? Какво е решението при \(\alpha = 0{,}05\)?
  3. Изследовател получава \(p = 0{,}07\) и пише: „Двете диети са еднакво ефективни.“ Коригирайте извода.
  1. \(H_0\): средното ниво на холестерол в популациите на двете диети е еднакво, \(\mu_1 = \mu_2\). \(H_1\): различно е, \(\mu_1 \neq \mu_2\).
  2. Ред \(df = 20\): 2,086 (колона 0,05) < 2,50 < 2,845 (колона 0,01) → \(0{,}01 < p < 0{,}05\) → отхвърляме \(H_0\).
  3. „Няма статистически значима разлика между двете диети (\(p = 0{,}07\)).“ Неотхвърлянето на \(H_0\) не доказва равенство; трябва да се посочат разликата и нейният доверителен интервал.

Задача 2. Повторна хоспитализация — 15 минути

След изписване със сърдечна недостатъчност 30 от 250 пациенти, включени в програма за телемониторинг, и 52 от 260 пациенти на обичайно проследяване са хоспитализирани повторно до 30 дни.

  1. Формулирайте хипотезите и проверете условието.
  2. Изчислете обединения дял и \(Z\). Какво е решението?
  3. Изчислете 95 % доверителен интервал на разликата и формулирайте заключение.
  1. \(H_0: P_1 = P_2\); \(H_1: P_1 \neq P_2\). Броевете 30/220 и 52/208 са всички ≥ 10.
  2. \(\hat p_1 = 12{,}0\) %, \(\hat p_2 = 20{,}0\) %; \(\hat p = 82/510 \times 100 = 16{,}08\) %. \(Z = -8 / \sqrt{16{,}078 \times 83{,}922 \times (1/250 + 1/260)} = -8/3{,}254 = -2{,}46\). \(1{,}96 < 2{,}46 < 2{,}576\) → \(0{,}01 < p < 0{,}05\) (софтуер: 0,014) → отхвърляме \(H_0\).
  3. \(SE_\Delta = \sqrt{12 \times 88/250 + 20 \times 80/260} = 3{,}22\); \(-8 \pm 1{,}96 \times 3{,}22\) → [−14,31; −1,69] п.п. Повторните хоспитализации са с 8 п.п. по-редки при телемониторинг; разликата е статистически значима.

Задача 3. Тегло при раждане — 20 минути

Сравнено е теглото при раждане (g) на доносени новородени от майки, пушили по време на бременността (\(n = 40\), \(\bar X = 3\,150\), \(S = 420\)), и от непушачки (\(n = 45\), \(\bar X = 3\,380\), \(S = 450\)).

  1. Кой тест е подходящ? Формулирайте хипотезите.
  2. Изчислете \(t\) по формулата от листа и степените на свобода.
  3. Определете интервала на p-стойността и формулирайте заключение с 95 % доверителен интервал на разликата.
  1. Количествен признак, две независими групи → t-тест за две независими извадки. \(H_0: \mu_1 = \mu_2\); \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\).
  2. \(SE = \sqrt{420^2/40 + 450^2/45} = \sqrt{4\,410 + 4\,500} = 94{,}39\) g; \(t = -230/94{,}39 = -2{,}44\); \(df = \min(39; 44) = 39\) → в таблицата няма ред 39 → ред 30.
  3. Ред 30: \(2{,}042 < 2{,}44 < 2{,}750\) → \(0{,}01 < p < 0{,}05\) (софтуер: 0,02) → отхвърляме \(H_0\). 95 % CI: \(-230 \pm 2{,}042 \times 94{,}39\) → [−422,75; −37,25] g. Новородените от пушачки тежат средно с 230 g по-малко; разликата е статистически значима.

Задача 4. Пулс преди и след бета-блокер — 15 минути

При 6 пациенти пулсът (уд./мин) е измерен преди и 2 седмици след започване на бета-блокер: преди 82, 76, 90, 88, 79, 85; след 74, 75, 81, 80, 77, 78.

  1. Защо извадките са свързани?
  2. Формулирайте хипотезите. Изчислете разликите, \(\bar d\) и \(S_d\).
  3. Изчислете \(t\), степените на свобода и интервала на p-стойността. Формулирайте заключение.
  1. Всеки пациент е измерен два пъти — наблюденията са по двойки. Допускаме, че разликите са приблизително нормално разпределени (при 6 двойки това трябва да се приеме).
  2. \(H_0: \mu_d = 0\), \(H_1: \mu_d \neq 0\) (\(d\) = след − преди). \(d\) = −8, −1, −9, −8, −2, −7; \(\bar d = -35/6 = -5{,}83\) уд./мин; \(\sum (d - \bar d)^2 = 58{,}83\); \(S_d = \sqrt{58{,}83/5} = 3{,}43\).
  3. \(t = -5{,}833 / (3{,}430/\sqrt 6) = -5{,}833/1{,}400 = -4{,}17\); \(df = 5\). Ред 5: \(4{,}032 < 4{,}17\) → \(p < 0{,}01\) (софтуер: 0,009). Пулсът спада статистически значимо, средно с 5,8 уд./мин (95 % CI 2,2–9,4).

Задача 5. Правилно тълкуване — 15 минути

Кои твърдения са верни?

  1. \(p = 0{,}03\) означава, че вероятността \(H_0\) да е вярна е 3 %.
  2. При \(p = 0{,}20\) не отхвърляме \(H_0\).
  3. Колкото по-малка е p-стойността, толкова по-голям е ефектът.
  4. Ако 95 % доверителният интервал на разликата между две средни не съдържа 0, двустранният t-тест със същата стандартна грешка и същите степени на свобода при \(\alpha = 0{,}05\) ще бъде статистически значим.
  5. Ако намалим \(\alpha\) от 0,05 на 0,01 при същата извадка, вероятността за грешка от II род нараства.

Верни са 2, 4 и 5. Твърдение 1: p-стойността е вероятността за данните (или по-крайни) при вярна \(H_0\), не вероятността \(H_0\) да е вярна. Твърдение 3: p-стойността зависи и от обема на извадката — голяма извадка дава малко p и при малък ефект. Твърдение 4 е вярно, защото тестът и интервалът използват една и съща стандартна грешка и едни и същи df. За два дяла Z-тестът (обединен дял) и интервалът (отделни дялове) използват различни стандартни грешки и в гранични случаи се разминават: при 19/100 срещу 31/100 интервалът е [−23,89; −0,11] п.п., а Z-тестът дава \(p = 0{,}050\). Твърдение 5: по-строгото \(\alpha\) прави отхвърлянето по-трудно, затова пропускаме реален ефект по-често.