Слайдове (PDF) · Задачи за студенти · Домашна работа (PDF)
Отделете около 15 минути за четене. Материалът следва презентацията „Доверителен интервал за относителен дял. Сравнение на две извадки“ и глава 5 от учебника на проф. Искров. След прочита трябва да можете да построите и тълкувате интервал за дял, да изчислите колко наблюдения са нужни за желана точност и да сравните две групи чрез доверителния интервал на разликата.
Стандартна грешка на относителния дял
Относителният дял \(\hat p = m/n \times 100\) е точкова оценка на неизвестния популационен дял \(P\). Неговата стандартна грешка е
\[S_p = \sqrt{\frac{\hat p\,(100 - \hat p)}{n}}.\]
В листа с формули същото е записано с дроби: \(S_p = \sqrt{p(1-p)/n}\). Изберете едното — проценти или дроби — и го спазвайте във всички стъпки. Грешката зависи само от дела и от обема: най-голяма е при 50 %, а четири пъти по-голяма извадка я намалява два пъти.
Доверителен интервал за дял
\[CI = \hat p \pm Z_{\alpha/2} \cdot S_p,\]
с \(Z = 1{,}96\) за 95 % и \(2{,}576\) за 99 %. Решен пример (от примерния тест): посттравматично стресово разстройство при 41 от 119 деца след транспортен инцидент (41 и 78 — и двата броя ≥ 10). \(\hat p = 34{,}45\) %; \(S_p = \sqrt{34{,}454 \times 65{,}546 / 119} = 4{,}36\) процентни пункта; \(34{,}45 \pm 1{,}96 \times 4{,}356 = 34{,}45 \pm 8{,}54\), тоест 95 % CI = [25,92; 42,99] %. С 95 % доверителност популационният дял на децата с ПТСР е между 25,92 % и 42,99 %. Интервалът е за популацията — в самата извадка делът е точно 34,45 %.
Условие. Простата формула разчита на нормално приближение. Учебникът изисква броят със събитието (\(m\)) и броят без него (\(n - m\)) да са поне 10 (за разлика между два дяла — във всяка група); правилото „поне 5“ е по-свободно. И двете са ориентири, не гаранция. При малки извадки и редки събития формулата дава невъзможни граници: при 2 от 20 тя дава [−3,1; 23,1] %. Тогава се използва интервал на Уилсън ([2,8; 30,1] %) или точен биномен интервал, изчислени със софтуер.
Необходим брой наблюдения
Колко хора да изследваме, за да оценим дела с допустима грешка \(d\) (половината ширина на интервала)?
\[n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{d^2}, \qquad n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot S^2}{d^2}\ \text{(количествен признак)}.\]
Пример от учебника: очакваните усложнения са около 10 %, искаме точност \(\pm 3\) процентни пункта при 95 %: \(n = 1{,}96^2 \times 0{,}10 \times 0{,}90 / 0{,}03^2 = 384{,}16\) → 385. Закръгляме винаги нагоре: с 384 души не достигаме желаната точност. Формулата е приблизителна и зависи от предварителната оценка на дела. Ако за дела няма предварителна информация, вземаме \(p = 0{,}5\) (най-голямото \(p(1-p)\)): \(n = 1\,068\). Двойно по-голяма точност струва четири пъти повече наблюдения, защото \(d\) е на квадрат в знаменателя. Използва се \(Z\), а не \(t\): \(t\) зависи от \(n\), което още не знаем.
Сравнение на две независими извадки
Два отделни интервала отговарят на въпроса колко точно сме оценили всяка група. Дали групите се различават, казва доверителният интервал на разликата:
\[SE_\Delta = \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}, \qquad CI = (\bar X_1 - \bar X_2) \pm t_{\alpha/2,\,df} \cdot SE_\Delta,\quad df \approx \min(n_1 - 1, n_2 - 1);\]
\[SE_\Delta = \sqrt{\frac{\hat p_1(100-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(100-\hat p_2)}{n_2}}, \qquad CI = (\hat p_1 - \hat p_2) \pm Z_{\alpha/2} \cdot SE_\Delta.\]
Тези формули са в учебника, но не в листа с формули. Ако интервалът на разликата не съдържа 0, разликата е статистически значима при \(\alpha = 0{,}05\); ако съдържа 0 — не е установена значима разлика (което не доказва, че разлика няма).
Решен пример. Подобрение при безглутенова диета: 56 от 100 срещу 45 от 100 в контролната група. Разлика 11 процентни пункта; \(SE_\Delta = \sqrt{56 \times 44/100 + 45 \times 55/100} = 7{,}03\); \(11 \pm 1{,}96 \times 7{,}03\) → [−2,77; 24,77] п.п. Интервалът съдържа 0: разликата не е статистически значима, а данните са съвместими както с липса на ефект, така и с ефект от около 25 п.п.
Припокриване на интервалите
Учебникът дава ориентир: ако двата 95 % интервала не се припокриват, разликата почти сигурно е значима; ако се припокриват частично, не може да се каже; ако почти съвпадат — вероятно няма значима разлика. Припокриването обаче не е тест. Стандартната грешка на разликата е корен от сбора на квадратите на двете грешки и е по-малка от техния сбор, затова интервалите могат да се припокриват, а разликата да е значима. Пример от учебника: преживяемост без прогресия 16,10 срещу 12,84 месеца (\(n = 40\) във всяка група). Интервалите [13,64; 18,56] и [11,14; 14,54] месеца се припокриват, а интервалът на разликата [0,27; 6,25] месеца не съдържа 0.
Чести грешки
- Смесване на 0,345 и 65,5 в една формула.
- „Разликата е 11 %“ вместо 11 процентни пункта.
- \(SE_\Delta = S_{\bar X_1} + S_{\bar X_2}\) вместо корен от сбора на квадратите.
- „Интервалите се припокриват → няма разлика“.
- Необходим брой 384,16 → 384 вместо 385.
Проверете се
- Защо при еднакъв обем интервалът за дял 50 % е по-широк от интервала за дял 10 %?
- Как се променя необходимият брой, ако искаме два пъти по-малка допустима грешка?
- Два 95 % интервала се припокриват. Какво още трябва да изчислите, за да прецените разликата?