Skip to main content

Медицинска статистика, упражнение 3: доверителен интервал за дял и сравнение на две извадки

Работа за 75 минути след 15-минутната подготовка: стандартна грешка и 95 % и 99 % доверителен интервал за дял, условия за нормалното приближение, необходим брой наблюдения, доверителен интервал за разликата между две средни и тълкуване на припокриването. Със скрити примерни отговори.
Bulgarian
Medical Statistics
Assignment
Medicine | 2nd year
2026/2027
Автор

Костадин Костадинов

Публикувано

13 ноември 2026 г.

Материал за 15-минутна подготовка · Слайдове (PDF) · Домашна работа (PDF)

Организация на работата

Първо прочетете подготвителния материал, след което работете по двойки с калкулатор и листа с формули. Четенето отнема 15 минути, а задачите — 75 минути, общо едно 90-минутно занятие. Междинните стойности не закръглявайте; крайните резултати закръглете до втория знак след десетичната запетая. Разлики между проценти пишете в процентни пунктове. Отваряйте примерния отговор едва след като запишете собственото си решение. Всички данни са учебни.

Задача 1. Ваксинация срещу грип при медицински специалисти — 15 минути

В случайна извадка от 180 медицински сестри и лекари в една болница 63 са ваксинирани срещу грип през сезона.

  1. Изчислете относителния дял на ваксинираните и неговата стандартна грешка.
  2. Проверете условието за нормалното приближение.
  3. Изчислете 95 % и 99 % доверителен интервал за дела на ваксинираните в болницата.
  4. Ръководството твърди, че „поне половината от персонала е ваксиниран“. Съвместимо ли е това с данните?
  1. \(\hat p = 63/180 \times 100 = 35{,}0\) %; \(S_p = \sqrt{35 \times 65 / 180} = \sqrt{12{,}639} = 3{,}56\) процентни пункта.
  2. 63 ваксинирани и 117 неваксинирани — и двата броя са много над 5 (и над 10); приближението е приложимо.
  3. 95 %: \(35 \pm 1{,}96 \times 3{,}555 = 35 \pm 6{,}97\) → [28,03; 41,97] %. 99 %: \(35 \pm 2{,}576 \times 3{,}555 = 35 \pm 9{,}16\) → [25,84; 44,16] %.
  4. Не. Стойността 50 % е извън двата интервала: данните сочат, че ваксинираните са по-малко от половината.

Задача 2. Малка извадка — 10 минути

В пилотно проучване на нов антибиотик нежелана реакция е наблюдавана при 3 от 25 пациенти.

  1. Изчислете дела и 95 % доверителен интервал по простата формула.
  2. Какво не е наред с резултата? Изпълнено ли е условието?
  3. Какъв интервал е подходящ? Как ще се промени изводът?
  1. \(\hat p = 12{,}0\) %; \(S_p = \sqrt{12 \times 88 / 25} = 6{,}50\) п.п.; \(12 \pm 1{,}96 \times 6{,}50\) → [−0,74; 24,74] %.
  2. Долната граница е отрицателна — невъзможна стойност за дял. Условието не е изпълнено: със събитието са само 3 пациенти (под 10, дори под по-свободния праг 5).
  3. Интервал на Уилсън (или точен биномен интервал), изчислен със софтуер: около [4,17; 29,96] %. Той е несиметричен около 12 % и остава в границите 0–100 %. Изводът: при толкова малка извадка честотата на нежеланата реакция е много неточно оценена — може да е около 4 %, но и около 30 %.

Задача 3. Необходим брой наблюдения — 15 минути

Планира се проучване на разпространението на желязодефицитна анемия при бременни в III триместър. Според предишни данни делът е около 18 %.

  1. Колко бременни трябва да бъдат изследвани, за да се оцени делът с точност \(\pm 4\) процентни пункта при 95 % доверителност?
  2. А при 99 % доверителност?
  3. Колко ще са нужни, ако за дела няма предварителна информация (95 %)?
  4. Защо резултатът се закръгля нагоре?
  1. \(n = 1{,}96^2 \times 0{,}18 \times 0{,}82 / 0{,}04^2 = 354{,}39\) → 355 бременни.
  2. \(n = 2{,}576^2 \times 0{,}18 \times 0{,}82 / 0{,}04^2 = 612{,}15\) → 613: по-високата доверителност изисква по-голяма извадка.
  3. \(p = 0{,}5\): \(n = 1{,}96^2 \times 0{,}25 / 0{,}04^2 = 600{,}25\) → 601.
  4. Брой хора е цяло число; с 354 изследвани точността \(\pm 4\) п.п. вече не е гарантирана. Най-малкото цяло число, което изпълнява изискването, е 355.

Задача 4. Гликиран хемоглобин в две групи — 20 минути

Пациенти със захарен диабет тип 2 са проследени в две независими групи: група А (обучение в самоконтрол, \(n = 36\), \(\bar X = 7{,}4\) %, \(S = 1{,}1\) %) и група Б (обичайни грижи, \(n = 40\), \(\bar X = 7{,}9\) %, \(S = 1{,}3\) %).

  1. Изчислете 95 % доверителен интервал за средния HbA1c във всяка група (използвайте най-близкия по-малък ред в t-таблицата).
  2. Припокриват ли се интервалите?
  3. Изчислете разликата А − Б, \(SE_\Delta\) и 95 % доверителен интервал на разликата (\(df \approx \min(n_1 - 1, n_2 - 1)\)).
  4. Формулирайте заключение.
  1. А: \(S_{\bar X} = 1{,}1/\sqrt{36} = 0{,}183\); \(df = 35\) → ред 30: \(t = 2{,}042\); \(7{,}4 \pm 0{,}374\) → [7,03; 7,77] %. Б: \(S_{\bar X} = 1{,}3/\sqrt{40} = 0{,}206\); \(df = 39\) → ред 30: \(t = 2{,}042\); \(7{,}9 \pm 0{,}420\) → [7,48; 8,32] %.
  2. Да, между 7,48 и 7,77 % — само от това не може да се реши.
  3. Разлика: \(7{,}4 - 7{,}9 = -0{,}5\) процентни пункта HbA1c. \(SE_\Delta = \sqrt{1{,}1^2/36 + 1{,}3^2/40} = \sqrt{0{,}0336 + 0{,}0423} = 0{,}275\). \(df = 35\) → \(t = 2{,}042\): \(-0{,}5 \pm 2{,}042 \times 0{,}275 = -0{,}5 \pm 0{,}56\) → [−1,06; 0,06].
  4. Средният HbA1c е с 0,5 п.п. по-нисък в група А, но интервалът на разликата съдържа 0 (едва): разликата не е статистически значима при \(\alpha = 0{,}05\). Данните са съвместими както с липса на ефект, така и с клинично значимо понижение около 1 п.п.; нужна е по-голяма извадка. (С \(df = n_1 + n_2 - 2 = 74\) → ред 50: \(t = 2{,}009\) → [−1,05; 0,05] — същият извод.)

Задача 5. Правилно тълкуване — 15 минути

Проучване съобщава дял на пушачите 31 %, 95 % CI [26; 36] % сред мъжете и 22 %, 95 % CI [18; 26] % сред жените. Разликата е 9 процентни пункта, 95 % CI [2,6; 15,4] п.п. Кои твърдения са верни?

  1. Интервалите на мъжете и жените се допират при 26 %, затова разликата не е значима.
  2. Интервалът на разликата не съдържа 0, затова разликата е статистически значима при \(\alpha = 0{,}05\).
  3. Делът на пушачите при мъжете е с 9 % по-висок.
  4. Ако интервалът на разликата беше [−1,0; 19,0] п.п., щяхме да заключим, че мъжете и жените пушат еднакво често.
  5. 99 % интервал на разликата от същите данни би бил по-широк.

Верни са 2 и 5. Твърдение 1: решава интервалът на разликата, не допирът на двата интервала. Твърдение 3: разликата е 9 процентни пункта (относително е около 41 % по-висок дял). Твърдение 4: интервал, който съдържа 0, означава, че не е установена значима разлика — не че разлика няма; той допуска и разлика до 19 п.п. Твърдение 5 е вярно: по-високото ниво изисква по-голяма критична стойност.